Differentiering

Hvad er differentiation?

Den differentierede funktion af \(f(x)\) noteres \(f'(x)\) (siges: f mrke x)
\(f'(x)\) angiver en funktion som beskriver hldningen af funktionen \(f(x)\)

Hvordan differentierer man?

Man kan bruge tretrinsreglen, men her vil vi fokusere p nemmere mder at gre det i hnden.
Vi har en liner funktion: \(f(x) = a \cdot x + b\),
som bliver til \( f'(x) = a\), nr man differentierer den.
Konstanter udgr, da de ikke har indflydelse p funktionens hldning.
Da hldningen p en liner funktion er konstant, fr vi blot en vandret linje
nr vi har differetieret den, som det ses p billedet til hjre.

Differentiation af polynomier - \(f(x) = a \cdot x^n + b \)

Til differentiation af funktioner med opbygningen \(f(x) = a \cdot x^n + b \) kan man bruge denne formel:
\(f'(x) = n \cdot a \cdot x^{n - 1} \)
Her er et par eksempler, hvor ovenstende formel er blevet brugt til udregningen.

\( f(x)\)\( 2 \cdot x^2\)\( 2 \cdot x^3\)\( x^4\)\( 3\cdot x^4\)\( 3\cdot x^4 + 5\)
\( f'(x)\)\( 4 \cdot x\)\( 6 \cdot x^2\)\( 4 \cdot x^3\)\( 12 \cdot x^3\)\( 12 \cdot x^3\)

Differentiation af andre funktioner

Her er en tabel som indeholder de hyppigt forekommende differentieringer:
\( f(x)\)\( \cfrac{1}{x} \)\( \sqrt{x} \)\( \sin(x) \)\( \cos(x) \)\( \tan(x) \)\( ln(x) \)\( e^x \)\( e^{k \cdot x} \)\( sin^{-1}(x) \)\( cos^{-1}(x) \)\( \tan^{-1}(x) \)
\( f'(x)\)\( -\cfrac{1}{x^2} \)\( \cfrac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \)\( \cos(x) \)\( -\sin(x) \)\( \tan(x)^2 + 1 \)\( \cfrac{1}{x} \)\( e^x \)\( k \cdot e^{k \cdot x} \)\( \cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)\( -\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)\( \cfrac{1}{1+x^2} \)