Hvad er differentiation?
Den differentierede funktion af \(f(x)\) noteres \(f'(x)\) (siges: f mærke x)\(f'(x)\) angiver en funktion som beskriver hældningen af funktionen \(f(x)\)
Hvordan differentierer man?
Man kan bruge tretrinsreglen, men her vil vi fokusere på nemmere måder at gøre det i hånden.Vi har en lineær funktion: \(f(x) = a \cdot x + b\),
som bliver til \( f'(x) = a\), når man differentierer den.
Konstanter udgår, da de ikke har indflydelse på funktionens hældning.
Da hældningen på en lineær funktion er konstant, får vi blot en vandret linje
når vi har differetieret den, som det ses på billedet til højre.
Differentiation af polynomier - \(f(x) = a \cdot x^n + b \)
Til differentiation af funktioner med opbygningen \(f(x) = a \cdot x^n + b \) kan man bruge denne formel:\(f'(x) = n \cdot a \cdot x^{n - 1} \)
Her er et par eksempler, hvor ovenstående formel er blevet brugt til udregningen.
| \( f(x)\) | \( 2 \cdot x^2\) | \( 2 \cdot x^3\) | \( x^4\) | \( 3\cdot x^4\) | \( 3\cdot x^4 + 5\) |
| \( f'(x)\) | \( 4 \cdot x\) | \( 6 \cdot x^2\) | \( 4 \cdot x^3\) | \( 12 \cdot x^3\) | \( 12 \cdot x^3\) |
Differentiation af andre funktioner
Her er en tabel som indeholder de hyppigt forekommende differentieringer:| \( f(x)\) | \( \cfrac{1}{x} \) | \( \sqrt{x} \) | \( \sin(x) \) | \( \cos(x) \) | \( \tan(x) \) | \( ln(x) \) | \( e^x \) | \( e^{k \cdot x} \) | \( sin^{-1}(x) \) | \( cos^{-1}(x) \) | \( \tan^{-1}(x) \) |
| \( f'(x)\) | \( -\cfrac{1}{x^2} \) | \( \cfrac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \) | \( \cos(x) \) | \( -\sin(x) \) | \( \tan(x)^2 + 1 \) | \( \cfrac{1}{x} \) | \( e^x \) | \( k \cdot e^{k \cdot x} \) | \( \cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) | \( -\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) | \( \cfrac{1}{1+x^2} \) |