Eksponential funktion

En eksponentialfunktion kan kendes ved at et tal er opløftet i x:

\( f(x) = b \cdot a^x \)

En eksponential funktion giver i et logaritmisk koordinatsystem en ret linje
som det ses på billedet til højre.

Som det ses på billedet til højre bliver y-værdien fordoblet
hver gang x stiger med 1. Dette skyldes
at grundtallet (a) i eksemplet er 2. Var grundtallet 3,
vil y-værdien blive det tre-dobbelte, hver gang x stiger med 1.

b angiver skæringspunktet med y-aksen.
a og b kan kun være positive tal.
Hvis a er under 1 er funktionen aftagende og hvis a er over 1 er den voksende.

Udregning af funktionsforskrift

Grundtallet (a), som angiver fordoblingen af y-værdien,
hver gang x stiger med 1, kan udregnes ud fra to punkter (x1, y1) og (x2, y2):

\( a = \sqrt[(x_2 - x_1 )]{\frac{y_2}{y_1}} = \left( \frac{y_2}{y_1} \right)^\frac{1}{x_2 - x_1} \)

For at bestemme b, skal man have et punkt (x1, y1) og grundtallet (a):

\( b = y_1 \cdot a^{-x_1} \)

På appletten til højre, kan du vælge to punkter.
a og b vil så blive udregnet for denne eksponentielle funktion.

Fordoblings- og halveringskonstant

Fordoblingskonstanten er forskellen i x, når y er blevet fordoblet, dvs:
\( T_2 = x_2 - x_1\), når   \( y_2 = 2 \cdot y_1\)
For en eksponentielt voksende funktion (a \(>1\)) kan fordoblingskonstanten udregnes ved denne formel:

\( T_2 = \frac{log(2)}{log(a)} = \frac{ln(2)}{ln(a)} \)

Funktionsforskriften kan også skrives som:

\( f(x) = b \cdot 2^\dfrac{x}{T_2} \)

Halveringskonstanten e forskellen i x, når y er blevet halveret, dvs:
\(T_\frac{1}{2}\)\( = x_2 - x_1\), når   \( y_2 = \frac{1}{2} \cdot y_1\)
 For en eksponentielt aftagende funktion (a \(<1\)) kan halveringskonstanten udregnes ved denne formel:

\( T_\frac{1}{2} = \frac{log \left( \frac{1}{2} \right)}{log(a)} = \frac{ln \left( \frac{1}{2} \right)}{ln(a)} \)

Funktionsforskriften kan også skrives som:

\( f(x) = b \cdot 2^\dfrac{x}{T_\frac{1}{2}} \)

På appletten til højre, kan du vælge forskellige værdier for a og b og se hvordan funktionen ser ud,
samt halverings eller fordoblingskonstanten bliver udregnet, afhængig af a's værdi.