|
\( \cfrac{d}{dx} k = 0 \) k er en konstant og når man differentierer et konstant led bliver det til 0. Dvs. så længe det man differentierer i forhold til, ikke indgår i leddet (i dette tilfælde x), vil det være et konstant led. |
|
\( \cfrac{d}{dx} k \cdot f(x) = k \cdot \cfrac{d}{dx} f(x) = k \cdot f'(x)\) k er en konstant ganget på en funktion og denne konstant ændres ikke under differentiationen. Konstanten kan derfor sættes udenfor differentiationen, som det gøres i eksemplet herunder: \( \cfrac{d}{dx} 4 \cdot x^3 = 4 \cdot \cfrac{d}{dx} x^3 = 4 \cdot 3 \cdot x^2 = 12 \cdot x^2\) |
|
\( \cfrac{d}{dx} f(x) \pm g(x) = \cfrac{d}{dx} f(x) \pm \cfrac{d}{dx} g(x) = f'(x) \pm g'(x)\) En funktion kan differentieres for hvert enkelt led (et led adskilles af +/-). Eksempel: \( \cfrac{d}{dx} \left( 3\cdot x^3 + 5 \cdot x^4 \right) = \cfrac{d}{dx} 3 \cdot x^3 + \cfrac{d}{dx} 5 \cdot x^4 = 9 \cdot x^2 + 20 \cdot x^3\) |
|
\( \cfrac{d}{dx} g(x) \cdot h(x) = g(x) \cdot h'(x) + h(x) \cdot g'(x)\) Vi betragter funktionen: \( f(x) = x^2 \cdot \sin(x) \) Denne funktion er svær at differentiere, men hvis vi opdeler den i to, kan vi bruge produktreglen til at udregne den differentierede funktion. \(g(x) = x^2 \) og \( h(x) = \sin(x) \) Disse to funktioner kan vi nu differentiere: \(g'(x) = 2 \cdot x \) og \( h'(x) = \cos(x) \) Vha. produktreglen kan vi nu udregne f´(x): \( f'(x) = g(x) \cdot h'(x) + h(x) \cdot g'(x) = x^2 \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot 2 \cdot x \) |
|
\( \cfrac{d}{dx} \cfrac{g(x)}{h(x)} = \cfrac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2} \) Vi betragter funktionen: \( f(x) = \cfrac{sin(x)}{cos(x)} \) f(x) deles nu op i g(x) (tælleren) og h(x) (nævneren) \(g(x) = sin(x) \) og \( h(x) = cos(x) \) Disse differentieres: \(g'(x) = cos(x)\) og \(h'(x) = -sin(x)\) Vi kan nu bestemme funktionen f´(x): \( f'(x) = \cfrac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2} = \cfrac{cos(x) \cdot cos(x)- sin(x) \cdot (-sin(x))}{cos(x^2)} = \cfrac{cos(x) \cdot cos(x)}{cos(x^2)} - \cfrac{sin(x) \cdot (-sin(x))}{cos(x^2)} = 1 + \cfrac{sin(x)^2}{cos(x)^2} \) |
|
\( \cfrac{d}{dx} g(h(x)) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \) Kædereglen viser hvordan man differentierer en sammensat funktion: Vi betragter funktionen: \( f(x) = sin \left( x^3 \right) \) Den ydre funktion er g(x) og den indre er h(x): \( g(x) = sin(x) \) og \( h(x) = x^3 \) Disse differentieres: \( g'(x) = cos(x) \) og \( h'(x) = 3 \cdot x^2 \) Dette kan vi nu sætte sammen vha. kædereglen. Vi skal blot huske at det er \(g'(h(x))\) i stedet for \(g'(x)\), hvilket vil sige at vi skal tage \(cos(h(x))\) i stedet for \(cos(x)\): \( f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = cos \left( x^3 \right) \cdot 3 \cdot x^2 \) |