Differentiering - Regneregler

Differentiering af konstanter

\( \cfrac{d}{dx} k = 0 \)
k er en konstant og nr man differentierer et konstant led bliver det til 0.
Dvs. s lnge det man differentierer i forhold til, ikke indgr i leddet (i dette
tilflde x), vil det vre et konstant led.

Konstant ganget p

\( \cfrac{d}{dx} k \cdot f(x) = k \cdot \cfrac{d}{dx} f(x) = k \cdot f'(x)\)
k er en konstant ganget p en funktion og denne konstant ndres ikke under differentiationen.
Konstanten kan derfor sttes udenfor differentiationen, som det gres i eksemplet herunder:
\( \cfrac{d}{dx} 4 \cdot x^3 = 4 \cdot \cfrac{d}{dx} x^3 = 4 \cdot 3 \cdot x^2 = 12 \cdot x^2\)

Differentiation af flere led

\( \cfrac{d}{dx} f(x) \pm g(x) = \cfrac{d}{dx} f(x) \pm \cfrac{d}{dx} g(x) = f'(x) \pm g'(x)\)
En funktion kan differentieres for hvert enkelt led (et led adskilles af +/-). Eksempel:
\( \cfrac{d}{dx} \left( 3\cdot x^3 + 5 \cdot x^4 \right) = \cfrac{d}{dx} 3 \cdot x^3 + \cfrac{d}{dx} 5 \cdot x^4 = 9 \cdot x^2 + 20 \cdot x^3\)

Produktreglen - Funktioner ganget sammen

\( \cfrac{d}{dx} g(x) \cdot h(x) = g(x) \cdot h'(x) + h(x) \cdot g'(x)\)
Vi betragter funktionen: \( f(x) = x^2 \cdot \sin(x) \)
Denne funktion er svr at differentiere, men hvis vi opdeler den i to, kan
vi bruge produktreglen til at udregne den differentierede funktion.
\(g(x) = x^2 \) og \( h(x) = \sin(x) \)
Disse to funktioner kan vi nu differentiere:
\(g'(x) = 2 \cdot x \) og \( h'(x) = \cos(x) \)
Vha. produktreglen kan vi nu udregne f(x):
\( f'(x) = g(x) \cdot h'(x) + h(x) \cdot g'(x) = x^2 \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot 2 \cdot x \)

Brkreglen - Funktioner divideret med hinanden

\( \cfrac{d}{dx} \cfrac{g(x)}{h(x)} = \cfrac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2} \)
Vi betragter funktionen: \( f(x) = \cfrac{sin(x)}{cos(x)} \)
f(x) deles nu op i g(x) (tlleren) og h(x) (nvneren)
\(g(x) = sin(x) \) og \( h(x) = cos(x) \)
Disse differentieres:
\(g'(x) = cos(x)\) og \(h'(x) = -sin(x)\)
Vi kan nu bestemme funktionen f(x):
\( f'(x) = \cfrac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2} = \cfrac{cos(x) \cdot cos(x)- sin(x) \cdot (-sin(x))}{cos(x^2)} = \cfrac{cos(x) \cdot cos(x)}{cos(x^2)} - \cfrac{sin(x) \cdot (-sin(x))}{cos(x^2)} = 1 + \cfrac{sin(x)^2}{cos(x)^2} \)

Kdereglen - Sammensatte funktioner

\( \cfrac{d}{dx} g(h(x)) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \)
Kdereglen viser hvordan man differentierer en sammensat funktion:
Vi betragter funktionen: \( f(x) = sin \left( x^3 \right) \)
Den ydre funktion er g(x) og den indre er h(x):
\( g(x) = sin(x) \) og \( h(x) = x^3 \)
Disse differentieres:
\( g'(x) = cos(x) \) og \( h'(x) = 3 \cdot x^2 \)
Dette kan vi nu stte sammen vha. kdereglen. Vi skal blot huske at
det er \(g'(h(x))\) i stedet for \(g'(x)\), hvilket vil sige at vi skal tage \(cos(h(x))\)
i stedet for \(cos(x)\):
\( f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = cos \left( x^3 \right) \cdot 3 \cdot x^2 \)