Trekanter

Arealet af en trekant bestemmes ud fra hjden og den tilhrende side (grundlinje).
P tegningen er hjderne og deres tilhrende side markeret med samme farve.

\( A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \)

\( O = a + b + c \)

\( g = grundlinje \)

\( h = hjde\)

Hjder i en trekant

\( h_a = c \cdot \sin \left( B \right) = b \cdot \sin \left( C \right)\)

\( h_b = c \cdot \sin \left( A \right) = a \cdot \sin \left( C \right)\)

\( h_c = b \cdot \sin \left( A \right) = a \cdot \sin \left( B \right)\)

Medianer i en trekant

Medianernes skringspunkt udgr trekantens tyngdepunkt

\(m_a = \sqrt{\frac{b^2}{2} + \frac{c^2}{2} - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{c^2}{4} + \frac{b \cdot c \cdot \cos \left( A \right)}{2}}\)

\(m_b = \sqrt{\frac{a^2}{2} + \frac{c^2}{2} - \frac{b^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{c^2}{4} + \frac{a \cdot c \cdot \cos \left( B \right)}{2}}\)

\(m_c = \sqrt{\frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2} - \frac{c^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + \frac{a \cdot b \cdot \cos \left( C \right)}{2}}\)

Vinkelhalveringslinjer - Indskreven cirkel

Vinkelhalveringslinjernes skringspunkt udgr den indskrevne cirkels centrum

\( \text{v}_A = \frac{2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \left(\frac{A}{2} \right)}{b + c} = \frac{2 \cdot \sqrt{s \cdot \left( s - a \right) \cdot b \cdot c}}{b + c} \)

\( \text{v}_B = \frac{2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \left(\frac{B}{2} \right)}{a + c} = \frac{2 \cdot \sqrt{s \cdot \left( s - b \right) \cdot a \cdot c}}{a + c} \)

\( \text{v}_C = \frac{2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left(\frac{C}{2} \right)}{a + b} = \frac{2 \cdot \sqrt{s \cdot \left( s - c \right) \cdot a \cdot b}}{a + b} \)

\( Areal = r \cdot s \)

\( s = \frac{a + b + c}{2}\)

\(r =\) radius af indskreven cirkel

Midtnormal - Omskreven cirkel

Midtnormalen gr vinkelret fra midten af en side i trekanten
Midtnormalernes skringspunkt udgr den omskrevne cirkels centrum

\( Areal = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot r}\)

\(r =\) radius af omskreven cirkel